Résolution d'un système par combinaison

Méthode

La méthode de résolution d'un système par combinaison consiste :

• à multiplier les équations par des nombres appropriés : ces nombres sont choisis de telle façon que, lorsque l'on additionne ou on soustrait membre à membre les deux équations, on obtient une équation à une seule inconnue et on la résout ;
  
• puis à remplacer la valeur trouvée de cette inconnue dans une des équations du système. On obtient ainsi la valeur de l'autre inconnue.
  

Remarques

• Cette méthode permet souvent d'éviter des manipulations de fractions, ce qui réduit le risque d’erreurs de calcul.
  
• Cette méthode se généralise facilement pour résoudre des systèmes comportant plus de deux équations ou inconnues.
  
• Cette méthode est très utile si l'on cherche à étudier l'intersection de deux droites dont on ne connaît que des équations cartésiennes.
  

Exemple
On souhaite résoudre le système d'équations \((\text S) : \begin{cases} 2x+3y=7\\ 4x-5y=3 \end{cases}\)

1. On remarque que les coefficients de l'inconnue \(x\) sont doublés entre la première équation et la deuxième équation.
On multiplie chaque membre de la première équation par deux. On obtient \(\begin{cases} 4x+6y=14\\ 4x-5y=3 \end{cases}\)
2. On soustrait la deuxième équation à la première pour éliminer l'inconnue \(x\).
Ainsi, on obtient \(\begin{cases} 4x+6y - (4x-5y) =14 - 3\\ 4x-5y=3 \end{cases}\) soit après simplification \(\begin{cases} 11y=11\\ 4x-5y=3 \end{cases}\)
3. On résout la première équation. Ainsi, on obtient \(\begin{cases} y=1\\ 4x-5y=3 \end{cases}\)
4. Finalement, on remplace \(y\) par sa valeur dans la deuxième équation et on obtient \(\begin{cases} y = 1\\ x=2 \end{cases}\)

5. On vérifie que le couple \((2;1)\) est bien solution du système en remplaçant \(x\) et \(y\) respectivement par \(2\) et \(1\) dans les deux équations initiales et en constatant que les deux égalités sont vraies.

6. En conclusion, l'unique solution du système \((\text S)\) est le couple \((2;1)\).